Herbert W. Franke

Animation mit Mathematica

Julius Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 2002

Mathematische Animationen

Vorwort

Das System Mathematica gilt als das anspruchsvollste Programmiersystem für alle Zwecke der Mathematik. Bemerkenswert ist, daß der Begründer von Mathematica, Stephen Wolfram, die grafische Darstellung mathematischer Zusammenhänge schon früh als integrierenden Bestandteil in das System aufgenommen hat. Deshalb enthält Mathematica auch eine leistungsfähige Programmiersprache sowohl für stillstehende Grafiken wie auch für Animationen in Schwarzweiß oder Farbe. Damit war ein wesentlicher Beitrag zur Mathematik-Visualisierung gelungen, die seither ständig an Bedeutung gewonnen hat. Das Bild erweist sich als alternative Beschreibung mathematischer Zusammenhänge, die nicht nur das Verständnis erleichtert, sondern in manchen Bereichen - beispielsweise in der fraktalen Geometrie - geradezu bahnbrechend gewirkt hat.
Das - unbewegte - Bild als Mittel zur Illustration mathematischer Zusammenhänge ist altbekannt, doch mit dem Einsatz von filmischen Abläufen anstelle formelhafter Beschreibungen betreten die meisten Anwender Neuland. Selbst in den einschlägigen, der Grafik gewidmeten Büchern wird die Animation nur kurz behandelt, und so kommt es, daß die im System steckenden filmischen Möglichkeiten meist unbenutzt bleiben. Diese Tatsache war ein Anstoß für dieses Buch, in dem eine Übersicht über die verschiedensten Darstellungsmöglichkeiten mathematisch beschreibbarer Animationen gegeben wird.
Neben der mathematischen Visualisierung gibt es aber noch andere Einsatzmöglichkeiten des Systems, von denen die künstlerische Anwendung eine der ungewöhnlichsten und interessantesten ist. Bisher sind die für diesen Zweck von Mathematica gebotenen Möglichkeiten nur wenig beachtet worden - wahrscheinlich weil viele Grafiker und Designer mit formalen Beschreibungen und Rechenprozessen nicht vertraut sind. Tatsächlich ergibt sich aber gerade in all jenen Fällen, in denen sich Gegenstände, Muster und dergleichen mit mathematischen Formeln erfassen lassen, eine der üblichen grafischen Datenverarbeitung auf der Basis von CAD (Computer Aided Design) gegenüber beträchtlich erweiterte Methode bildnerischer Gestaltung. Der Vorteil liegt insbesondere in der Tatsache, daß sich mit einem mathematischen Ausdruck oder einem oft recht einfachen Programm geometrische Objekte umfassend beschreiben lassen, während diese beim CAD meist Baustein für Baustein zusammengesetzt werden müssen. Das ist der zweite Anstoß für diese Publikation, die auch als Bestandsaufnahme verschiedenster, mit Mathematica erreichbarer filmischer Effekte gelten kann.
Die reine Mathematik auf der einen Seite, die künstlerische Gestaltung auf der anderen - dabei scheint es sich um zwei völlig getrennte Bereiche zu handeln. In Wirklichkeit trifft das keineswegs zu. Es stellt sich heraus, daß die ästhetisch befriedigende Darstellung oft zugleich jene ist, die die beste Übersicht über den Zusammenhang gibt. Das bringt eine stärkere und damit auch eine bessere Gedächtniswirkung mit sich. Bei mathematischen Visualisierungen sind manche optischen Parameter nicht zwingend vorgegeben, sondern können (und müssen) willkürlich besetzt werden (beispielsweise bei der Verschlüsselung quantitativer Relationen durch Farben), so daß, ob man sich dessen bewußt ist oder nicht, stets auch ästhetische Entscheidungen ins Spiel kommen. So besteht kein Zweifel daran, daß die ästhetische Komponente nicht nur in künstlerisch orientierten Anwendungen Bedeutung hat, sondern auch überall dort, wo es auch auf den äußeren Eindruck ankommt - beispielsweise im Unterricht speziell naturwissenschaftlicher Fächer, insbesondere natürlich auch der Mathematik.
Der Plan für dieses Buch entstand aus der Beschäftigung mit  Animationsaufgaben heraus, wobei es speziell um mathematisch beschreibbare Objekte ging - einerseits zur Visualisierung mathematischer Zusammenhänge, andererseits auch zur freien Gestaltung. So lag es nahe, zunächst zum eigenen Gebrauch eine Übersicht über die von Mathematica gegebenen Möglichkeiten für verschiedenste grafische wie auch filmische Anwendungen zu erarbeiten. Es bestätigte sich, daß die grafische Programmiersprache von Mathematica eine gute Basis dafür darstellt und es sich somit rechtfertigt, die gewonnene Übersicht all jenen zur Verfügung zu stellen, die mit ähnlichen Arbeiten beschäftigt sind.
Aus der Zielsetzung geht hervor, daß als Leser des Buches nicht nur Mathematiker zu erwarten sind, sondern auch Anwender aus verschiedensten anderen Bereichen, weiter auch Pädagogen, Grafik-Designer und Künstler, speziell solche aus dem Multi-Media-Bereich. Das bedeutet aber, daß umfassende Kenntnisse des Mathematica-Systems nicht unbedingt zu erwarten sind - selbst Autoren einschlägiger Handbücher weisen darauf hin, daß es kaum jemand gibt, der das gesamte System beherrscht. Zum Gebrauch genügt es offenbar, das Grundprinzip und die wichtigsten Befehle zu kennen (was vom Benutzer dieser Publikation vorausgesetzt wird); zur Bewältigung spezieller Aufgaben zieht man dann das Handbuch heran, das für jeden Detailbereich übersichtlich und verständlich formulierte Anweisungen bereithält.
Im Prinzip stellt sich die Situation im grafischen Sektor ebenso dar - normalerweise kommt man mit oberflächlichen Kenntnissen aus, wenn man die vorgegebenen Standards benutzt. Anders ist die Situation bei der Animation, die man als Erweiterung der Grafik auffassen kann. Die filmischen Möglichkeiten lassen sich nur auf der Basis umfassender Kenntnisse jenes Teils des Mathematica-Programmiersystems ausschöpfen, den man als eine eigene grafische Sprache auffassen kann. So erfordert die Animation oft die Beachtung spezieller Optionen, bei denen man sich sonst nur mit den vorgegebenen Werten begnügt. Da andererseits die grafische Seite von Mathematica im Handbuch und in einigen Spezialwerken gut beschrieben ist, genügt hier eine  kurze, überschlägige Übersicht. Sie soll nicht nur als Erinnerungshilfe dienen, sondern auch als Information über Besonderheiten, die im alltäglichen Gebrauch oft übersehen werden.
Das Buch erfüllt seinen Sinn, wenn es möglichst breite Anwenderkreise auf die grafische Kapazität des Systems Mathematica aufmerksam macht, verbunden mit der Anregung, bei mathematischen Visualisierungen künftighin in steigendem Maß Animationen heranzuziehen und sich gelegentlich auch freien filmischen Experimenten zu widmen.

Inhalt

  Vorwort

1. Grundlagen der grafischen Darstellung

1.1. Die Grundlagen der grafischen Darstellung
1.2. Übersicht: Grafik-Objekte
1.3. Ausgabe von Bildern mit Show
1.4. Bildtafeln mit GraphicsArray
1.5. Optionen für grafische Darstellungen
1.6. Anweisungen für grafische Parameter
1.7. Programm zum Titelbild t1

2. Animationen mit Mathematica

2.1. Animation mitMathematica
2.2. Das Paket "Graphics` Animation`"

3. Sichtwechsel mit Optionen

3.1. Sichtwechsel mit Optionen
3.2. ViewPoint - die simulierte Kamera
3.3. Fahrten mit PlotRange
3.4. Animation mit PlotPoints
2.5. Zahlen und Text in Animationen
3.6. Farben und Licht
3.7. Programm zum Titelbild t3

4. Bewegungen von Kurven

4.1. Schwingungen und Wellen
4.1. Krümmungskreis
4.3. Abrollkurven       
4.4. Koppelkurven
4.5. Pendelbewegung
4.6. Punkt auf Raumkurve
4.7. Programm zum Titelbild t4

5. Animationen im Raum

5.1. Änderungen von Parametern
5.2. Bewegung  von Wellen
5.3. Elektrische Felder
5.4. Schnitte durch 3D-Objekte
5.5. Das Prinzip der Schneckenform
5.6. Atom-Orbitale
5.7. Kombination zweier Surface-Grafiken

6. Freie filmische Gestaltung

6.1. Formübergänge mit Morphing
6.2. Animation in Stereo
6.3. Export und Import von Grafik-Objekten
6.4. Rendern - fotorealistische Szenen
6.5. Formen der Präsentation
6.6. Beispiele für Animationen
6.7. Die Animation "Polyeder"
6.8. Die Animation "Falter"

7. Ein Nachwort: Experimentelle Mathematik